Методы оптимизации в технико-экономических задачах

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В экономике взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. Математическая экономика рассматривает два основных раздела:

методы оптимизации;

макроэкономические модели.

В условиях современной рыночной экономики каждый день приходится принимать важные решения, просчитывать различные варианты и ходы, делать выбор. Часто цена ошибки бывает слишком велика, поэтому каждому субъекту рыночных отношений необходимо опираться на точный математический расчёт. Таким образом, методы оптимизации в экономике играют всё более и более важную роль.

В рамках данной курсовой работы рассмотрены наиболее часто используемые методы решения различных экономических задач.

Неклассические методы оптимизации

Теоретическая часть

Одним из самых распространённых методов минимизации, связанных с вычислением градиента, является метод спуска по направлению антиградиента минимизируемой функции.

Суть метода градиентного спуска

В природе мы нередко наблюдаем явления, сходные с решением задачи на нахождение минимума. К ним относится, в частности, стекание воды с берега котлована на дно. Упростим ситуацию, считая, что берега котлована "унимодальны", т.е. они гладкие и не содержат локальных углублений или выступов. Тогда вода устремится вниз в направлении наибольшей крутизны берега в каждой точке.

Переходя на математический язык, заключаем, что направление наискорейшего спуска соответствует направлению наибольшего убывания функции. Из курса математики известно, что направление наибольшего возрастания функции двух переменных u=f(x,y) характеризуется ее градиентом

где i, j - единичные векторы (орты) в направлении координатных осей. Следовательно, направление, противоположное градиентному, укажет путь, ведущий вниз вдоль наиболее крутой линии. Методы, основанные на выборе пути оптимизации с помощью градиента, называются градиентными.

Идея метода градиентного спуска состоит в следующем. Выбираем некоторую начальную точку и вычисляем в ней градиент рассматриваемой функции. Делаем шаг в направлении, обратном градиентному. В результате приходим в точку, значение функции в которой обычно меньше первоначального. Если это условие не выполнено, т. е. значение функции не изменилось либо даже возросло, то нужно уменьшить шаг. В новой точке процедуру повторяем: вычисляем градиент и снова делаем шаг в обратном к нему направлении. Процесс продолжается до выполнения условия останова.

Все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска.

Это позволяет написать общую схему методов спуска.

Решается задача минимизации функции f(x) на всём пространстве Еn.

Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательности {х(к)}. В качестве начального приближения выбирается любая точка х(0) с Еn. Последовательные приближения х(1), х(2), строятся по следующей схеме: