Практическое применение стохастического программирования

Задача добычи электроэнергии.

Пусть имеются два месторождения A и B электроэнергии, энергия которых соответственно равны x и y ед. Для добычи энергии используется одна машина, которая либо с определенной вероятностью добывает часть энергии, либо выходит из строя и в дальнейшем не используется. Если машина работает на месторождении A, то с вероятностью p1 она добывает часть r1 имеющейся энергии и с вероятностью 1 - p1 выходит из строя. Если машина работает на месторождении B, то с вероятностью p2 она добывает часть r2 имеющейся энергии и с вероятностью 1 - p2 выходит из строя.

В какой последовательности следует использовать машину на месторождениях, чтобы общее количество электроэнергии, добытой до выхода машины из строя, было максимальным?

Решение.

Разобьем период работы машины на этапы. Процесс использования машины можно начать либо с месторождения A, либо с месторождения B. Если машина не вышла из строя на предыдущем этапе, то необходимо решить, на каком из месторождений ее следует использовать на последующем этапе.

Исходя из критерия задачи, определим функцию ƒN (x,y) как ожидаемое количество электроэнергии, добытой до выхода машины из строя.

В одноэтапном процессе в случае первоначального выбора для разработки месторождения A среднее количество добытой энергии составляет p1r1x и p2r2y при выборе месторождения B, следовательно, ƒ1 (x, y) = max [p1r1x, p2r2y]

Рассмотрим (N + 1)-этапный процесс. Каким бы ни был первоначальный выбор, его продолжение на оставшихся N этапах должно быть оптимально. Ожидаемое количество добытой электроэнергии в (N + 1)-этапном процессе при первоначальном выборе месторождения А

(1) ƒА (x, y) = p1 [r1x + ƒN ((1 - r1) x, y)],

а при выборе месторождения В

(2) ƒВ (x, y) = p2 [r2y + ƒN (x, (1 - r2) y)]

По условию необходимо максимизировать общее количество добытой электроэнергии, поэтому, объединяя (1) и (2), получаем основное уравнение для (N + 1)- этапного процесса:

(3) p1 [r1x + ƒN ((1 - r1) x, y)]

ƒN+1 (x, y) = max [ƒА (x, y), ƒВ (x, y)] = max

p2 [r2y + ƒN (x, (1 - r2) y)]

Используя функциональные уравнения (1) и (3), определим оптимальное поведение в трехэтапном процессе, если x = 500, y = 300, p1 = 0,6, r1 = 0,5, p2 = 0,7, r2 = 0,7.

Рассмотрим одноэтапный процесс [при этом используем уравнение (1)]. На 1-этапе работу можно начать либо на месторождении А, либо на месторождении В. В случае выбора месторождения А добыча электроэнергии составит в среднем ƒ1 (x, y) = p1r1x = 0,6*0,5*500 = 150 (ед.)

Если в течение 1-ого этапа машина не вышла из строя, то в начале 2-ого этапа необходимо сделать выбор: продолжить работу на месторождении А или начать работу на месторождении В на месторождении А добыто r1x ед. электроэнергии и её остаток составляет x- r1x (1- r1)x ед.; на месторождении В энергия осталась прежней.

Решая функциональное уравнение, получаем

p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500

ƒ1 [(1 - r1) x, y)] = max = max =

p2 r2y 0,7*0,7*300

75

= max = 147 (ед.)

147

Следовательно, на 2-м этапе машина должна работать на месторождении В.

В начале 3-его этапа следует сделать выбор: продолжать работу на месторождении В или на месторождении А на месторождении В добыто r2y ед. электроэнергии, её остаток составляет y- r2y = (1- r2)y ед. Имеем

p1r1 (1- r1)x 0,6*0,5*0,5*500

ƒ1 [(1 - r1) x, (1- r2)y] = max = max =

p2 r2(1- r2)y 0,7*0,7*0,3*300

75

= max = 75 (ед.)

44,1

Следовательно, на 3-м этапе машина должна работать на месторождении А.

Таким образом, если на 1-м этапе работа начата на месторождении А, то оптимальное поведение состоит в том, что на 2-м этапе надо начать работу на месторождении В, а на третьем этапе - продолжать работу на месторождении А.