Методы оптимизации в технико-экономических задачах

Задание

Зависимость расходов предприятия, прогнозируемых на будущий квартал от факторов x1, x2 задаётся в некоторых денежных единицах функцией

Найти значение x1 и x2, при которых прогнозируемые расходы минимальны. Использовать комбинацию одного их градиентных методов с методом Ньютона.

Фиксировать x3=0,31

Построение математической модели задачи

Задача минимизации функции от двух переменных сводится к нахождению таких значений х1* и х2*, при которых

При kv=0.739,

Найдём производную функции по переменной х1:

Найдём производную функции по переменной х2:

Найдём вторую производную функции по переменной х1:

Найдём вторую производную функции по переменной х2:

Найдём вторую производную функции по переменным х1 и х2:

Таким образом, градиент функции будет равен:

Далее необходимо определить величину шага αk, для которого бы выполнялось неравенство: f(x(k+1))<f(x(k)).

Задача нахождения минимума функции сводится к построению последовательностей

1(k+1) = х(к) -αк * grad(f(x1(k)))

x2(k+1) = х(к) -αк * grad(f(x2(k)))

до тех пор, пока не выполнятся условия останова:

u1:

, где

:

3:

, где

4: Если условия u2 u3 выполняются, а условие u1 нет, на протяжении 10 итераций, вычисления прекратить и вывести результат.

Решение задачи

Необходимо найти величину шага. За начальную точку берём х1(0)=0 и х2(0)=0. f(х1(0); х2(0))=16,43.

1) α0(1)=1

х1(1)=-1,3388

х2(1)=0,9076

f(х1(1); х2(1))=33,59

Получили f(x(k+l)) > f(x(k)), таким образом, следует уменьшить шаг.

2) α0(2)=0,5

х1(2)=8,8788

х2(2)=-4,2155

f(х1(2); х2(2))=765,129

Получили f(x(k+l)) > f(x(k)), таким образом, следует уменьшить шаг.

3) α0(3)=0,25

х1(3)=-25,6164

х2(3)=11,1324

f(х1(3); х2(3))=5923,182

Получили f(x(k+l)) > f(x(k)), таким образом, следует уменьшить шаг.

4) α0(4)=0,125

х1(4)=23,2581

х2(4)=-9,4773

f(х1(4); х2(4))=4857,293

Получили f(x(k+l)) < f(x(k)), величина шага выбрана α0=0,125

Метод градиентного спуска:

итерация:

х1(1)=-1,3388

х2(1)=0,9076

u1: =17.1637

Ef=8.399*10-6

Условие останова не выполняется, т.к.

u2: =1.62621

Ex=0.000808

Условие останова не выполняется, т.к.