Методы оптимизации в технико-экономических задачах

По смыслу задачи переменные

1≥0, x2≥0, x3≥0 (1.2)

Прибыль от реализации трех сортов угля будет выражена функцией:

=35x1+30x2+48x3 (1.3)

Экономико-математическая модель задачи: найти такое количество каждого сорта угля, x=(x1, x2, x3), удовлетворяющее системе (1.1) и условию (1.2), при котором функция (1.3) принимает максимальное значение:

=35x1+30x2+48x3 → max

f = -35x1-30x2-48x3 → min

Решение задачи

Решение задачи графоаналитическим методом

Для решения задачи графоаналитическим методом следует учитывать что переменных должно быть не более двух.

F=35x1+30x2 → max= -35x1-30x2 → min

ограничения:

x1≥0, x2≥0

Построим область допустимых значений.

Любое неравенство двух переменных делит область на два подмножества: в одном они выполняются, в другом - нет. Подмножества представляют собой полуплоскости, разделяемые прямой, которая получается, если в ограничении заменить знак неравенства на знак равенства.

Найдем градиент и антиградиент функции:

Значение функции будет уменьшатся при движении по направлению антиградиента и увеличиваться по направлению градиента.

Далее следует уловить тот момент, в котором эта линия имеет последнюю общую точку с ОДР.

Чтобы найти решение необходимо решить систему:

Оптимальное решение:

т. А(0,28;0,78)

F(0,28;0,78)=35*0,28+30*0,78=33,2

Решение задачи симплекс-методом

Для решения задачи симплекс-методом, необходимо сначала привести ее к канонической форме. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем две дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:

x4≥0, x5≥0

После приведения задачи к канонической форме необходимо выбрать первоначальный базис. В качестве базисных переменных возьмем x4, x5, а оставшиеся три переменные x1, x2, x3 будут свободными неизвестными. При этом необходимо, чтобы базисные неизвестные обладали следующим свойством: если все остальные неизвестные (x1, x2, x3) принять равными нулю, то переменные, выбранные в качестве базисных, должны быть неотрицательными.

Базисные переменные нужно выразить через свободные неизвестные:

Запишем опорный план:

Целевую функцию нужно выразить через свободные неизвестные:

Так как коэффициенты перед тремя переменными в целевой функции имеют отрицательный знак, выясним до какого предела можно увеличивать свободные переменные.

Отрицательные коэффициенты стоят перед x1, x2 и х3.

Из первого уравнения следует, что х1=0,79.

Из второго уравнения следует, что x2=0,95.

Из второго уравнения следует, что x3=1,08.

Теперь посчитаем, насколько каждая переменная уменьшает целевую функцию, для чего подставим максимально допустимое значение в выражение для целевой функции, а остальные переменные зададим равными нулю:

1=-27,65, fx2=-28,57, fx3=-51,84

То есть целесообразно ввести в базис x3, тогда x5 выводим из базиса.

Рассчитаем новый базис:

Получаем базис:

Целевую функцию нужно выразить через свободные неизвестные:

Так как x1, x2 и x5 имеют отрицательные коэффициент, значит базисное решение не является оптимальным.

Выясним, до какого предела можно увеличивать x1 , x2 и x5:

из второго уравнения следует ограничение: x1 =0,64;